Die Kinematik (altgriech. κίνημα kinema ‚Bewegung‘, von κινεῖν kinein ‚bewegen‘) ist ein Gebiet der Mechanik, das die Bewegung von Körpern rein geometrisch beschreibt mit den Größen Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Unberücksichtigt bleiben die Kraft, die Masse der Körper und alle davon abgeleiteten Größen wie Impuls oder Energie. Die Kinematik beschreibt somit nur wie sich ein Körper bewegt und wird daher auch als Bewegungsgeometrie bezeichnet. Warum sich ein Körper bewegt bleibt anderen Gebieten der Mechanik überlassen: In der Physik der Dynamik und in der Technischen Mechanik der Kinetik.

Die Einordnung der Kinematik in die Mechanik erfolgt unterschiedlich. Die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von Kräften ist in der Physik Gegenstand der Dynamik, die auch den Spezialfall der Ruhe beinhaltet (Statik). Kinematik und Dynamik sind dort unmittelbare Teilgebiete der Mechanik. In der Technischen Mechanik wird die Kinematik dagegen zusammen mit der Kinetik als Teilgebiet der Dynamik betrachtet, die dort ebenfalls direkt der Technischen Mechanik untergeordnet ist und somit mit der Statik und der Festigkeitslehre auf einer Stufe steht.

Bezugssysteme und Koordinatensysteme

Bezugssysteme bilden den physikalischen Rahmen in dem eine Bewegung beschrieben wird. Koordinatensysteme sind mathematische Instrumente zu deren Beschreibung; sie haben aber auch außerhalb der Physik Anwendungen. Die Lösung konkreter Problemstellungen beginnt in der Mechanik immer mit der Festlegung eines Bezugs- und Koordinatensystems.^[1]

Bezugssysteme

Die Größen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen von der Wahl des Bezugssystems ab.

• Ein Beobachter an einem Bahnsteig nimmt einen einfahrenden Zug als bewegt wahr. Für einen Fahrgast des Zuges befindet sich der im Zug jedoch in Ruhe.
• Von der Erde aus beobachtet scheint die Sonne um die unbewegte Erde zu kreisen. Vom Weltraum aus betrachtet ruht die Sonne, und die Erde bewegt sich.

Die Beschreibung von Bewegungen ist grundsätzlich in allen Bezugssystemen möglich, die Beschreibung unterscheidet sich aber je nach Bezugssystem. Die Planetenbewegung ist beispielsweise mit einer ruhenden Sonne deutlich einfacher zu beschreiben.

Es wird unterschieden zwischen ruhenden, bewegten und beschleunigten Bezugssystemen, wobei die beschleunigten ein Spezialfall der bewegten Bezugssysteme sind. In ruhenden Bezugsystemen und solchen die sich mit konstanter Geschwindigkeit gerade bewegen (nicht rotieren) - den Inertialsystemen - gilt das erste Newtonsche Gesetz: Ein kräftefreier Körper bewegt sich dann mit konstanter Geschwindigkeit oder bleibt in Ruhe. In beschleunigten Bezugssystemen treten dagegen Scheinkräfte auf. Die Erde dreht sich um ihre eigene Achse und um die Sonne; sie bildet also kein Inertialsystem. Für die meisten praktischen Fragestellungen kann die Erde jedoch in guter Näherung als ruhend angesehen werden.

Im Rahmen der Klassischen Mechanik wird davon ausgegangen, dass jedem Körper zu jedem Zeitpunkt ein Ort zugewiesen werden kann. Im Rahmen der Quantenmechanik ist dies nicht mehr möglich. Dort können nur noch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten angegeben werden. Außerdem wird in der Klassischen Mechanik davon ausgegangen, dass Körper eine beliebig hohe Geschwindigkeit erreichen können und dass die Zeit an jedem Ort unabhängig von der Bewegung gleich schnell vergeht. Beides ist in der Relativitätstheorie nicht erfüllt.

Koordinatensysteme

Koordinatensysteme dienen zur Beschreibung der Bezugssysteme. Meistens wird ein kartesisches Koordinatensystem genutzt, das aus Achsen besteht die senkrecht aufeinander stehen. Besonders geeignet ist es für geradlinige Bewegungen. Für Drehbewegungen in einer Ebene sind Polarkoordinaten gut geeignet wenn der Ursprung der Mittelpunkt der Drehbewegung ist. Im dreidimensionalen Raum werden Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten genutzt. Wenn die Bewegung eines Fahrzeuges aus Sicht des Fahrers beschrieben werden soll, wird das begleitende Dreibein (natürliche Koordinaten)^[2] genutzt. Die verschiedenen Koordinatensysteme lassen sich umrechnen mit der Koordinatentransformation.

Spezielle Koordinaten die nur in der Mechanik vorkommen sind die verallgemeinerten Koordinaten. Sie werden genutzt wenn der betrachtete Körper sich nicht frei bewegen kann, sondern sich auf bestimmten Bahnen oder Ebenen bewegt.

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind die drei zentralen Größen der Kinematik. Sie sind über die Zeit miteinander verbunden: Eine zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit und eine zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung beziehen sich zu jedem Zeitpunkt auf eine gerade Richtung, diese Richtung kann sich aber ständig ändern. Für Drehbewegungen gibt es stattdessen den Drehwinkel, die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung. Alle diese Größen sind Vektoren. Sie haben nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung.

Ort[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Ort eines punktförmigen Körpers sind zahlreiche Notationen gebräuchlich: Allgemein gebräuchlich ist ${\displaystyle {\vec {r}}}$ für den Ortsvektor. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt im Koordinatensystem an dem sich der Körper befindet. Bei kartesischen Koordinaten ist auch ${\displaystyle x}$ üblich, manchmal steht ${\displaystyle x}$ nur für die X-Komponente des Ortsvektors. Wenn die Bahnkurve des Punktes bekannt ist, dann wird der Ort auch durch den zurückgelegten Weg ${\displaystyle s}$ entlang der Bahnkurve angegeben. Bei verallgemeinerten Koordinaten ist ${\displaystyle q}$ gebräuchlich. Da sich der Ort eines Punktes mit der Zeit ${\displaystyle t}$ ändert, wird auch ${\displaystyle {\vec {r}}(t),x(t),s(t)}$ oder ${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$ verwendet. Die Funktion die jedem Zeitpunkt einen Ort zuordnet ist das Weg-Zeit-Gesetz.

Geschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$. Wenn sich der Ort eines Körpers während eines Zeitraumes ${\displaystyle \Delta t}$ um den Weg ${\displaystyle \Delta s}$ ändert, dann hat er während dieses Zeitraumes die mittlere Geschwindigkeit

${\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$.

Die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}(t)}$ zu jedem beliebigen Zeitpunkt, die Momentangeschwindigkeit, ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$ des Ortsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes ${\displaystyle \mathrm {d} t}$:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {r}}}(t)}$.

Die Geschwindigkeit ist also die Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Ortsvektor gekennzeichnet.

Beschleunigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung ${\displaystyle a}$. Wenn sich die Geschwindigkeit eines Körpers während eines Zeitraumes ${\displaystyle \Delta t}$ um den Wert ${\displaystyle \Delta v}$ ändert, dann hat er die mittlere Beschleunigung

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

Die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}(t)}$ zu jedem beliebigen Zeitpunkt ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {v}}}$ des Geschwindigkeitsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes ${\displaystyle \mathrm {d} t}$:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)={\ddot {\vec {r}}}(t)}$.

Die Beschleunigung ist also die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Geschwindigkeitsvektor gekennzeichnet, sowie die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit zwei Punkten über dem Ortsvektor gekennzeichnet.

Bewegungsarten, Freiheitsgrad und Zwangsbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bewegungen lassen sich nach zahlreichen Kriterien einteilen.^[3] Eine Sonderfall der Bewegung ist der Zustand der Ruhe mit Geschwindigkeit null. Wichtig ist die Unterteilung in die

• Bewegung entlang einer Geraden, die Verschiebung oder Translation und in die
• Drehung, Kreisbewegung oder Rotation.

Nach der Beschleunigung wird unterschieden zwischen

• Gleichförmige Bewegung (auch gleichförmige Drehbewegung) mit einer Beschleunigung ${\displaystyle a=0}$ und einer konstanten Geschwindigkeit. Bei der Drehbewegung ist nur der Betrag der Geschwindigkeit konstant, die Richtung ändert sich ständig, aber der Vektor der Winkelgeschwindigkeit behält auch seine Richtung bei.

• Die Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung ${\displaystyle a=konst.}$ Die Geschwindigkeit nimmt dabei mit einer konstanten Rate zu. Bei negativer Beschleunigung nimmt sie ab. Dazu zählt der freie Fall bei dem konstant die Erdbeschleunigung wirkt. Der schräge Wurf ist eine Kombination aus gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung: In senkrechter Richtung wirkt konstant die Erdbeschleunigung und in waagrechter Richtung wirkt (ohne Luftwiderstand) keine Beschleunigung.

Je nachdem ob der betrachtete Körper jeden beliebigen Ort erreichen kann oder nicht, wird unterschieden in die

• Freie Bewegung, bei der der Körper nicht eingeschränkt wird und sich frei bewegen kann, wie bei einem Flugzeug und die
• Gebundene Bewegung bei der der Körper eingeschränkt ist durch sogenannte Zwangsbedingungen. Ein Auto kann sich beispielsweise auf der Erdoberfläche frei bewegen, aber es kann seine Höhe nicht selbständig ändern. Wenn seine Höhe der z-Koordinate eines Koordinatensystems entspricht, dann lautet die Zwangsbedingung ${\displaystyle z=konst.}$ Ein Zug kann sich nur entlang der Gleise bewegen.

Die Bewegungsmöglichkeiten die ein Körper hat werden als Freiheitsgrad bezeichnet. Ein punktförmiger Körper der sich frei im dreidimensionalen Raum bewegen kann hat drei Freiheitsgrade, in der Ebene zwei und bei der Bewegung entlang einer Kurve nur einen. Die eingeschränkten Freiheitsgrade werden als Bindung bezeichnet. Ein ausgedehnter, starrer Körper kann sich auch um körpereigene Achsen drehen, ohne dass sich sein Schwerpunkt ändert. Er hat drei weitere Freiheitsgrade (für jede Dimension ist eine Drehung möglich). Bei deformierbaren Körpern (biegsame Balken, Flüssigkeiten, Gase) gibt es unendlich viele Freiheitsgrade.

Relativbewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bewegung von Punkten wird häufig in beschleunigten Bezugssystemen beschrieben, die selbst gegenüber einem anderen System beschleunigt sind.

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Größen im Basissystem die normale Notation im verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. prime). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“.

	Bedeutung
${\displaystyle {\vec {r}}}$	Position des Objektes in S (Basissystem).
${\displaystyle {\vec {r}}{\;'}}$	Relativposition des Objektes in S'.
${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}$	Geschwindigkeit des Objektes in S
${\displaystyle {\vec {v}}{\;'}}$	Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
${\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}}$	Beschleunigung des Objektes in S
${\displaystyle {\vec {a}}{\;'}}$	Relativbeschleunigung des Objektes in S'
${\displaystyle {\vec {r}}_{O}}$	Position des Ursprungs von S' in S
${\displaystyle {\vec {v}}_{O}={\dot {\vec {r}}}_{O}}$	Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
${\displaystyle {\vec {a}}_{O}={\dot {\vec {v}}}_{O}}$	Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
${\displaystyle {\vec {\omega }}}$	Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}$	Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ und die Winkelbeschleunigung ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}}$ des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

	kinematische Größen in S
Position	${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{O}+{\vec {r}}{\;'}}$
Geschwindigkeit	${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'}+{\vec {v}}{\;'}}$
Beschleunigung	${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{O}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'}+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}+{\vec {a}}{\;'}}$

Falls S ein Inertialsystem ist, kann die Absolutbeschleunigung in die Newtonsche Bewegungsgleichung eingesetzt werden:

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung ${\displaystyle m{\vec {a}}{\;'}}$ erhält man die Bewegungsgleichung für die Relativbewegung.

Kinematik des starren Körpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Vektor ${\displaystyle r_{P}}$ zum Punkt P eines starren Körpers ist in einem körperfesten Bezugssystem konstant. Die Bewegung dieses Punkts in einem Basissystem berechnet sich zu:

	kinematische Größen in S
Position	${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{O}+{\vec {r}}_{P}}$
Geschwindigkeit	${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{P}}$
Beschleunigung	${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{O}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{P})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{P}}$

Absolutkinematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bewegung starrer Körper, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, ist die Grundlage zur Analyse von Mehrkörpersystemen. Hierzu werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des starren Körpers j relativ zum Körper i betrachtet. Die Relativbewegung kann durch die Gelenk-Koordinaten (verallgemeinerte Koordinaten) und deren Ableitungen berechnet werden. Die Bewegungsgrößen des Körpers i im Inertialsystem werden als bekannt vorausgesetzt.^[4]

${\displaystyle {\vec {r}}_{j}={\vec {r}}_{i}+{\vec {r}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{j}={\vec {v}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {{\vec {r}}_{i,j}}+{\vec {v}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{j}={\vec {a}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times ({\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j})+2{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {v}}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j}+{\vec {a}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{j}={\vec {\omega }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{j}={\vec {\alpha }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {\omega }}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i,j}}$

Mit:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i},{\vec {r}}_{j}}$: Ortsvektoren zu den Körpern i, j

${\displaystyle {\vec {r}}_{i,j}}$: Vektor vom Körper i zum Körper j

${\displaystyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{j}}$: Absolutgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {a}}_{i},{\vec {a}}_{j}}$: Absolutbeschleunigungen der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {v}}_{i,j}}$: Geschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i},{\vec {\omega }}_{j}}$: absolute Winkelgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i,j}}$: Winkelgeschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i},{\vec {\alpha }}_{j}}$: absolute Winkelbeschleunigungen der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i,j}}$: Winkelbeschleunigung des Körpers j relativ zum Körper i

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Mehrkörpersystemen ist die Untersuchung räumlicher Mechanismen Gegenstand der Kinematik. Diese Mechanismen sind häufig aus Gelenken und Verbindungen aufgebaut. Beispiele sind Roboter, kinematische Ketten und Radaufhängungen in der Automobilindustrie. Mit kinematischen Methoden (in der Robotik siehe Direkte Kinematik) wird die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt und Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aller Körper berechnet.

1. ↑ Torsten Fließbach: Mechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik I, Springer, 7. Auflage, 2015, S. 2–8.
2. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 - Klassische Mechanik, Springer, 10. Auflage, 2013, S. 163.
3. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 2 - Analytische Mechanik, Springer, 9. Auflage, 2014, S. 3 f..
4. ↑ Klaus-Peter Schnelle: Simulationsmodelle für die Fahrdynamik von Personenkraftwagen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Fahrwerkskinematik. VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2. (Fortschrittsberichte VDI Nr. 146)

• Jens Wittenburg: Kinematics - Theory and Application, Springer, 2016.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Die Kinematik des starren Körpers (Memento vom 12. Februar 2010 im Internet Archive)
• Kinematik des starren Körpers. U. Zwiers (PDF-Datei 354 KB)
• Kinematik und Computeranimation
• Digitalisierte Bücher aus der Geschichte der Kinematik
• Kinematik auf Lern-Online.net