Liminaire

On étudie tout d'abord complètement le cas où l'échange thermique est anti-méthodique (écoulement co-courant des fluides). L'échange méthodique est examiné en différentiel dans un deuxième temps.

Notations et données 

• ${\displaystyle \Delta T=T_{e}-T_{s}}$
• ${\displaystyle \Delta t=t_{s}-t_{e}}$
• ${\displaystyle Q\;et\;q}$ = débits massiques des fluides chaud et froid en kg/s
• ${\displaystyle C\;{\text{et}}\;c}$ = capacités calorifiques massiques des fluides chaud et froid en J/(kg⋅K) (non égales)
• ${\displaystyle S_{e}}$ = surface d'échange totale de l'échangeur et ${\displaystyle S}$ = surface au long de l'échange (variable)
• ${\displaystyle W}$ = puissance échangée

Bilan thermique d'ensemble 

${\displaystyle W=q\times c\times \Delta t=Q\times C\times \Delta T}$. On note ${\displaystyle \alpha ={\Delta t \over \Delta T}={Q\times C \over q\times c}}$

Échange thermique le long de la surface d'échange(dans le sens d'écoulement des fluides) :

• Soit${\displaystyle \mathrm {d} S}$ un élément de surface d'échange entre le fluide chaud à la température ${\displaystyle T}$ et le fluide froid à la température ${\displaystyle t}$ localement au long de l'échange thermique, la puissance échangée dans l'élément de surface d'échange ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ (notée ${\displaystyle \mathrm {d} W}$) s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} W=h\times (T-t)\mathrm {d} S=q\times c\times \mathrm {d} t=-Q\times C\times \mathrm {d} T}$(dans le sens d'écoulement du fluide, ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ est positif ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ est négatif)

• avec ${\displaystyle h}$ = coefficient d'échange en W/(m²⋅K) ; on fait l'hypothèse généralement assez bien vérifiée si l'échange est effectué entre fluides sans changement de phase, de la constance de h tout au long de l'échange

${\displaystyle q\times c\times \mathrm {d} t=-Q\times C\times \mathrm {d} T}$ d'où ${\displaystyle \mathrm {d} t=-{Q\times C \over q\times c}\times \mathrm {d} T=-\alpha \times \mathrm {d} T}$

et ${\displaystyle t-t_{e}=-\alpha \times (T-T_{e})\quad t=t_{e}+\alpha \times (T_{e}-T)}$ par ailleurs ${\displaystyle \mathrm {d} W=-Q\times C\times \mathrm {d} T}$

• on remplace alors t par et dW par leurs valeurs dans la relation ${\displaystyle \mathrm {d} W=h\times (T-t)\times \mathrm {d} S\quad .}$ Il vient :

${\displaystyle -Q\times C\times \mathrm {d} T=h\times \left(T-t_{e}-\alpha \times (T_{e}-T)\right)\times \mathrm {d} S=h\times \left(T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \right)\times \mathrm {d} S}$

${\displaystyle {-Q\times C\times \mathrm {d} T \over T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha }=h\times \mathrm {d} S}$

• en intégrant le long de l'échange thermique :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left(T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \right)=h\times S+constante}$

pour ${\displaystyle S=0\;;\;T=T_{e}}$ ; d'où :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left(T_{e}\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \right)=constante={-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left(T_{e}-t_{e}\right)}$

• d'où la relation donnant ${\displaystyle T}$ :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left({T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S}$

pour ${\displaystyle S=S_{e}\;;\;T=T_{s}}$

${\displaystyle {-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left({T_{s}\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S_{e}}$

Notion d'écart logarithmique moyen 

• on note ${\displaystyle x}$ le terme au numérateur du logarithme qui se simplifie grandement :

${\displaystyle x=T_{s}\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha =T_{s}\times (1+{\Delta t \over \Delta T})-t_{e}-T_{e}\times {\Delta t \over \Delta T}}$

${\displaystyle x={T_{s}\times (\Delta T+\Delta t)-t_{e}\times \Delta T-T_{e}\times \Delta t \over \Delta T}}$

${\displaystyle x={(T_{s}-t_{e})\times \Delta T-\Delta T\times \Delta t \over \Delta T}=T_{s}-t_{e}-\Delta t=T_{s}-t_{s}}$

• de même le terme ${\displaystyle y={-Q\times C \over 1+\alpha }}$ est mis sous la forme :

${\displaystyle y={-Q\times C \over 1+{\Delta t \over \Delta T}}={-Q\times C\times \Delta T \over \Delta t+\Delta T}}$

${\displaystyle y={-W \over \Delta t+\Delta T}={-W \over (t_{s}-t_{e})+(T_{e}-T_{s})}={W \over (T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e})}}$

• Finalement ${\displaystyle {W \over (T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e})}\times \ln \left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S_{e}}$

on tient compte de ce que ${\displaystyle T_{e}-t_{e}>T_{s}-t_{s}}$ il vient :

${\displaystyle {W \over (T_{e}-t_{e})-(T_{s}-t_{s})}\times \ln \left({T_{e}-t_{e} \over T_{s}-t_{s}}\right)=h\times S_{e}}$ qu'on met sous la forme classique :

${\displaystyle W=h\times S_{e}\times {(T_{e}-t_{e})-(T_{s}-t_{s}) \over \ln \left({T_{e}-t_{e} \over T_{s}-t_{s}}\right)}=h\times S_{e}\times \Delta T\operatorname {Log} }$

Évolution des températures le long de l'échange :

• La relation : ${\displaystyle {-Q\times C \over 1+\alpha }\times \ln \left({T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S}$ permet d'établir la loi de variation de la température ${\displaystyle T}$ du fluide chaud le long de l'abscisse curviligne parcourant la surface d'échange :

${\displaystyle {W \over (T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e})}\times \ln \left({T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S}$

${\displaystyle W=h\times S_{e}\times {(T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e}) \over \ln \left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)}}$

${\displaystyle {h\times S_{e}\times {(T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e}) \over \ln \left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)} \over (T_{s}-t_{s})-(T_{e}-t_{e})}\times \ln \left({T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)=h\times S}$

${\displaystyle \ln \left({T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}\right)={S \over S_{e}}\times \ln \left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)}$

${\displaystyle {T\times (1+\alpha )-t_{e}-T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{e}}={(T-T_{e})\times (1+\alpha )+T_{e}-t_{e} \over T_{e}-t_{e}}={(T-T_{e})\times (1+\alpha ) \over T_{e}-t_{e}}+1}$

${\displaystyle {(T-T_{e})\times (1+\alpha ) \over T_{e}-t_{e}}=\left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)^{S \over S_{e}}-1}$ par ailleurs ${\displaystyle T_{e}-t_{e}>T_{s}-t_{s}}$ d'où ${\displaystyle {T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}<1}$

${\displaystyle T=T_{e}-{T_{e}-t_{e} \over 1+\alpha }\times \left[1-\left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)^{S \over S_{e}}\right]}$

• Une démarche similaire conduit à la relation donnant ${\displaystyle t}$ en fonction de l’abscisse curviligne le long de l'échange :

${\displaystyle t=t_{e}+{T_{e}-t_{e} \over 1+{1 \over \alpha }}\times \left[1-\left({T_{s}-t_{s} \over T_{e}-t_{e}}\right)^{S \over S_{e}}\right]}$

Cas de l'échange méthodique

Échange thermique le long de la surface d'échange (dans le sens d'écoulement du fluide chaud) :

• La puissance échangée dans l'élément de surface d'échange${\displaystyle \mathrm {d} S}$ s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} W=h\times (T-t)\times \mathrm {d} S=-q\times c\times \mathrm {d} t=-Q\times C\times \mathrm {d} T}$ (par différence avec le cas de l'échange anti-méthodique, ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ est négatif car le sens d'orientation de l’abscisse curviligne est le sens d'écoulement du fluide chaud ; par ailleurs ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ est négatif) d'où ${\displaystyle \mathrm {d} t={Q\times C \over q\times c}\times \mathrm {d} T=\alpha \times \mathrm {d} T}$

et ${\displaystyle t_{s}-t=\alpha \times (T_{e}-T)\quad .}$${\displaystyle t=t_{s}+\alpha \times (T-T_{e})}$ par ailleurs ${\displaystyle \mathrm {d} W=-Q\times C\times \mathrm {d} T}$

• on remplace t par et dW par leurs valeurs dans la relation ${\displaystyle \mathrm {d} W=h\times (T-t)\times \mathrm {d} S\quad .}$ Il vient :

${\displaystyle -Q\times C\times \mathrm {d} T=h\times \left(T-t_{s}-\alpha \times (T-T_{e})\right)\times \mathrm {d} S=h\times \left(T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \right)\times \mathrm {d} S}$

${\displaystyle {-Q\times C\times \mathrm {d} T \over T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha }=h\times \mathrm {d} S}$

• en intégrant le long de l'échange thermique :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left(T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \right)=h\times S+constante}$

pour ${\displaystyle S=0\;;\;T=T_{e}}$ d'où :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left(T_{e}\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \right)=constante}$

${\displaystyle constante={-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left(T_{e}-t_{s}\right)}$

• d'où la relation donnant ${\displaystyle T}$ :

${\displaystyle {-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left({T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S}$

pour ${\displaystyle S=S_{e}\;;\;T=T_{s}}$

${\displaystyle {-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left({T_{s}\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S_{e}}$

Écart logarithmique moyen :

• on note ${\displaystyle z}$ le terme au numérateur du logarithme qui se simplifie :

${\displaystyle z=T_{s}\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha =T_{s}\times (1-{\Delta t \over \Delta T})-t_{s}+T_{e}\times {\Delta t \over \Delta T}}$

${\displaystyle z={T_{s}\times (\Delta T-\Delta t)-t_{s}\times \Delta T+T_{e}*\Delta t \over \Delta T}}$

${\displaystyle z={(T_{s}-t_{s})\times \Delta T+\Delta T\times \Delta t \over \Delta T}=T_{s}-t_{s}+\Delta t=T_{s}-t_{e}}$

• de même le terme ${\displaystyle t={-Q\times C \over 1-\alpha }}$ est mis sous la forme :

${\displaystyle t={-Q\times C \over 1-{\Delta t \over \Delta T}}={Q\times C\times \Delta T \over \Delta t-\Delta T}}$

${\displaystyle t={-W \over \Delta t-\Delta T}={W \over (t_{s}-t_{e})-(T_{e}-T_{s})}={W \over (T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s})}}$

• Finalement ${\displaystyle {W \over (T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s})}\times \ln \left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S_{e}}$ qu'on met sous la forme classique :

${\displaystyle W=h\times S_{e}\times {(T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s}) \over \ln \left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)}=h\times S_{e}\times \Delta T\operatorname {Log} }$

Évolution des températures le long de l'échange :

• La relation : ${\displaystyle {-Q\times C \over 1-\alpha }\times \ln \left({T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S}$

permet d'établir la loi de variation de la température${\displaystyle T}$ du fluide chaud le long de l'abscisse curviligne parcourant la surface d'échange :

${\displaystyle {W \over (T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s})}\times \ln \left({T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S}$

${\displaystyle W=h\times S_{e}\times {(T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s}) \over \ln \left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)}}$

${\displaystyle {h\times S_{e}\times {(T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s}) \over \ln \left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)} \over (T_{s}-t_{e})-(T_{e}-t_{s})}\times \ln \left({T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)=h\times S}$

${\displaystyle \ln \left({T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}\right)={S \over S_{e}}\times \ln \left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)}$

${\displaystyle {T\times (1-\alpha )-t_{s}+T_{e}\times \alpha \over T_{e}-t_{s}}={(T-T_{e})\times (1-\alpha )+T_{e}-t_{s} \over T_{e}-t_{s}}={(T-T_{e})\times (1-\alpha ) \over T_{e}-t_{s}}+1}$

${\displaystyle {(T-T_{e})\times (1-\alpha ) \over T_{e}-t_{s}}=\left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)^{S \over S_{e}}-1}$

${\displaystyle T=T_{e}-{T_{e}-t_{s} \over 1-\alpha }\times \left[1-\left({T_{s}-t_{e} \over T_{e}-t_{s}}\right)^{S \over S_{e}}\right]}$

• Une démarche similaire conduit à la relation donnant ${\displaystyle t}$ en fonction de l’abscisse curviligne le long de l'échange :

${\displaystyle t=t_{e}+{T_{s}-t_{e} \over 1-{1 \over \alpha }}\times \left[1-\left({T_{e}-t_{s} \over T_{s}-t_{e}}\right)^{S \over S_{e}}\right]}$ L'abscisse curviligne est orientée dans le sens du fluide dès lors si on souhaite avoir les températures des fluides chaud et froid en regard, il convient de remplacer${\displaystyle {S \over S_{e}}}$ par ${\displaystyle 1-{S \over S_{e}}}$ dans l'une ou l'autre des formules donnant ${\displaystyle T}$ et ${\displaystyle t}$