무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼 수 없는 소수이다.

이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다.

유리수의 집합은 ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$로 정의하고, 무리수의 집합은 ${\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} -\mathbb {Q} }$로 정의한다.

무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.

무리수는 다시 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$와 같은 대수적 수인 무리수와 ${\displaystyle \pi }$ 등의 초월수로 나뉜다.

역사와 어원

무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다.^[1] 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파의 동료들이 히파소스를 죽였다는 전설이 있다.

에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는(ῥητός 레토스^[*])’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는(ἄλογος 알로고스^[*])’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 numerus irrationalis로 번역되어 지금에 이른다.

몇 가지 무리수의 증명

특수한 로그 꼴의 수

가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 ${\displaystyle \log _{2}3}$과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:

• ${\displaystyle \log _{2}3}$을 유리수라 하자. 그러면, 어떤 자연수 ${\displaystyle m,n}$에 대해, ${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}}$을 만족한다.
• 따라서, ${\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}=3}$이 되고.
• 변형하면, ${\displaystyle 2^{m}=3^{n}}$이다.
• 그런데, ${\displaystyle 2^{m}}$은 짝수이고, ${\displaystyle 3^{n}}$은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
• 따라서, 가정이 틀렸다. 즉, ${\displaystyle \log _{2}3}$은 무리수이다.

2의 제곱근

무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.

1. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 유리수라 하자.
2. 그러면, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$는 기약분수 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 ${\displaystyle a,b}$에 대해, ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2}$.
3. 위 식을 풀면

   ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$

   ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

4. 따라서, ${\displaystyle a^{2}}$은 짝수.
5. 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, ${\displaystyle a}$는 짝수여야 한다.
6. 따라서, ${\displaystyle a^{2}}$는 4의 배수.
7. 즉, ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}}$는 짝수.
8. (3)에서, ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}=b^{2}}$이다.
9. (7)과 (8)로부터, ${\displaystyle b^{2}}$가 짝수임을 알 수 있다.
10. (4), (5)과 같은 방법으로, ${\displaystyle b}$는 짝수.
11. (5)와 (10)에 의해, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 모두 짝수. 이는 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배.
12. 모순에 의해 (1)의 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

무리수+유리수

1. ${\displaystyle {\sqrt {2}}+3}$을 유리수라 가정하자.
2. 위의 식이 유리수라면 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+3=c}$를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다.
3. 두 번째 식에서 3을 이항시키면 ${\displaystyle {\sqrt {2}}=c-3}$이 된다.
4. 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
5. 위의 소제목에서 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+3}$이 유리수라는 가정과 위배된다.
6. 모순에 의해 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+3}$이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.

각주[편집]

같이 보기[편집]

• 소수점 표기
• 분수 (수학)