Geometryczny moment bezwładności jest to moment bezwładności jednorodnego (o stałej gęstości) ciała podzielony przez jego gęstość. Charakteryzuje on jedynie kształt ciała i rozkład odległości jego poszczególnych punktów od osi obrotu.

Geometryczny moment bezwładności oblicza się ze wzoru

${\displaystyle I_{G}=\int r^{2}dV}$

Znajomość geometrycznego momentu bezwładności umożliwia (w przypadku bryły jednorodnej o gęstości ρ) obliczenie momentu bezwładności danego ciała ze wzoru wynikającego z definicji

${\displaystyle I=\rho \cdot I_{G}}$

Jednostką geometrycznego momentu bezwładności (dla bryły) jest m⁴.

Twierdzenie Steinera

Jeżeli znany jest geometryczny moment bezwładności pewnego ciała względem osi x_C przechodzącej przez jego środek masy, to moment bezwładności tego ciała względem równoległej do niej osi x można obliczyć ze wzoru:

${\displaystyle I_{x}=I_{x_{C}}+Vd^{2}}$

gdzie d jest odległością między osiami.

Geometryczny moment bezwładności dla figur płaskich

Gdy jeden z wymiarów może być pominięty, wówczas ciało staje się płaskie i jego geometryczny moment bezwładności jest obliczany

${\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{A}y^{2}dA}$

${\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{A}x^{2}dA}$

• I_x – moment bezwładności względem osi x,
• I_y – moment bezwładności względem osi y,
• dA – element powierzchni,
• x – odległość dA od osi y.
• y – odległość dA od osi x.

Momenty bezwładności figury płaskiej to parametry zależne od wielkości i geometrii figury.

Moment bezwładności dla figur płaskich można wyznaczyć z geometrycznego momentu posługując się wzorem

${\displaystyle I=\sigma \cdot I_{G}}$

gdzie ${\displaystyle \sigma }$ jest stałą gęstością powierzchniową jednorodnego ciała.

Biegunowy moment bezwładności przekroju (tylko kołowego lub pierścieniowego) belki jest parametrem przekroju opisującym wytrzymałość na skręcanie. Gdy przemnożymy biegunowy moment przekroju razy moduł Kirchhoffa, to otrzymamy sztywność na skręcanie belki. Patrz: Skręcanie (wytrzymałość materiałów) (dla przekrojów kołowych ${\displaystyle I_{S}=I_{O}}$).

Moment bezwładności przekroju po angielsku jest zwany second moment of area.

Moment bezwładności figury płaskiej ma wymiar długość do potęgi czwartej (w SI m⁴).

Biegunowy moment bezwładności to moment bezwładności względem punktu będącego środkiem masy. Definicja:

${\displaystyle I_{O}=\int {\rho }^{2}dA=I_{x_{C}}+I_{y_{C}}}$

Przykład. Moment bezwładności prostokąta[edytuj]

${\displaystyle I_{x_{C}}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ,

${\displaystyle I_{y_{C}}={\frac {hb^{3}}{12}}}$

• ${\displaystyle I_{x_{C}},I_{y_{C}}}$ osiowe moment bezwładności względem osi symetrii prostokąta, osie te przechodzą przez środek masy figury (względem innych osi momenty będą inne!).
• b – szerokość (na osi x)
• h – wysokość (na osi y)

Twierdzenie Steinera dla figur płaskich[edytuj]

Twierdzenie Steinera odnosi się także do figur płaskich, oczywiście zamiast objętości we wzorze jest powierzchnia.

${\displaystyle I_{x}=I_{x_{C}}+Ad^{2}}$

gdzie

d oznacza odległość między równoległymi do siebie osiami x i ${\displaystyle x_{C}}$,

A jest powierzchnią figury.

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997, s. 536-537.

Zobacz też[edytuj]

• moment bezwładności
• lista momentów bezwładności
• promień bezwładności
• twierdzenie Steinera (mechanika)