powered by CADENAS

Social Share

Amazon

Синус (9864 views - Mechanical Engineering)

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией. К тригонометрическим функциям относятся: прямые тригонометрические функции:синус ( sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} ); косинус ( cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} );производные тригонометрические функции:тангенс ( t g x {\displaystyle \mathrm {tg} \,x} ); котангенс ( c t g x {\displaystyle \mathrm {ctg} \,x} );другие тригонометрические функции:секанс ( sec ⁡ x {\displaystyle \sec x} ); косеканс ( c o s e c x {\displaystyle \mathrm {cosec} \,x} ).В английской и американской литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} , cot ⁡ x {\displaystyle \cot x} , csc ⁡ x {\displaystyle \csc x} . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах, но потом эти страны перешли на англо-американский стандарт. Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях. Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ± π n + π 2 {\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}} , а котангенс и косеканс — в точках ± π n {\displaystyle \pm \pi n} . Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Go to Article

Explanation by Hotspot Model

Youtube


    

Синус

Синус

Тригонометри́ческие фу́нкцииэлементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции:
  • синус ();
  • косинус ();
производные тригонометрические функции:
  • тангенс ();
  • котангенс ();
другие тригонометрические функции:
  • секанс ();
  • косеканс ().

В английской и американской литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[1], но потом эти страны перешли на англо-американский стандарт.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Содержание

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[2]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса с центром в начале координат . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим , ординату обозначим (см. рисунок 2).

  • Синусом называется отношение
  • Косинусом называется отношение
  • Тангенс определяется как
  • Котангенс определяется как
  • Секанс определяется как
  • Косеканс определяется как

В силу свойств подобных фигур значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности . Часто радиус принимают равным величине единичного отрезка; тогда синус равен ординате , а косинус — абсциссе . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если  — вещественное число, то синусом в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна . Аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

  • синусом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
  • косинусом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
  • тангенсом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к прилежащему);
  • котангенсом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к противолежащему);
  • секансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
  • косекансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализе

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

с дополнительными условиями: для косинуса и для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить[4] как решения ( и соответственно) системы функциональных уравнений:

при дополнительных условиях:

и при .

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

где

 — числа Бернулли,
 — числа Эйлера.

Разложение в бесконечные произведения

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

Эти соотношения выполняются при любом значении .

Цепные дроби

Производные и первообразные

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[5]:

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править код]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править код]



Свойства тригонометрических функций[править | править код]

Простейшие тождества[править | править код]

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Из определения тангенса и котангенса следует, что

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом[6]:

  sin cos tg ctg sec cosec

Непрерывность[править | править код]

  • Синус и косинус — непрерывные функции.
  • Тангенс и секанс имеют точки разрыва ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …, ±(n + 1/2)π, … (в градусной мере: ±90°, ±270°, ±450°, …, ±(n + 1/2)·180°, …).
  • Котангенс и косеканс имеют точки разрыва 0, ±π, ±2π, …, ±nπ, … (в градусной мере: 0°, ±180°, ±360°, …, ±n·180°, …).

Чётность[править | править код]

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность[править | править код]

Функции  — периодические с периодом , функции и  — c периодом .

Формулы приведения[править | править код]

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь  — любая тригонометрическая функция,  — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

или что то же самое:

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения[править | править код]

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов[править | править код]

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

где  — целая часть числа ,  — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

Произведения[править | править код]

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени[править | править код]

Суммы[править | править код]

Существует представление:

где угол находится из соотношений:

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править код]

Определение[править | править код]

Формула Эйлера:

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где


Соответственно, для вещественного x:

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями: