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正弦 (9839 views - Mechanical Engineering)

在數學中,正弦(英語:sine、縮寫 sin {\displaystyle \sin } )是一種週期函數,是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集,值域是 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 。它是周期函数,其最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。在自变量为 ( 4 n + 1 ) π 2 {\displaystyle {\frac {(4n+1)\pi }{2}}} ( n {\displaystyle n} 为整数)时,该函数有极大值1;在自变量为 ( 4 n + 3 ) π 2 {\displaystyle {\frac {(4n+3)\pi }{2}}} 时,该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数,其图像于原点对称。
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正弦

正弦

正弦
正弦
性質
奇偶性
定義域 (-∞,∞)
到達域 [-1,1]
周期
特定值
當x=0 0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 ((2k+½)π,1)
最小值 ((2k-½)π,-1)
其他性質
渐近线 N/A
臨界點 kπ-π/2
拐點
不動點 0
k是一個整數

數學中,正弦(英語:sine、縮寫)是一種週期函數,是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集值域。它是周期函数,其最小正周期为。在自变量为整数)时,该函数有极大值1;在自变量为时,该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数,其图像于原点对称。

符号史

正弦的符号为,取自拉丁文sinus。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义

直角三角形中

直角三角形,為直角,的角度為, 對於而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

直角三角形中,一个锐角正弦定义为它的对边与斜边的比值,也就是:

可以發現其定義和餘割函數互為倒數

直角坐标系中

是平面直角坐标系xOy中的一个象限角是角的终边上一点,是P到原点O的距离,则的正弦定义为:

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于或小于的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦变成了周期为2π的周期函数

对于任何角度和任何整数

級數定義

微分方程定义

由于正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦,因此正弦函数满足初值問題

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义

正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出:

恒等式

用其它三角函数来表示正弦

函数 sin cos tan csc sec cot

两角和差公式

二倍角公式[编辑]

三倍角公式[编辑]

半角公式[编辑]

和差化积公式[编辑]

万能公式[编辑]

含有正弦的积分[编辑]

特殊值[编辑]

sin
角度
sin

正弦定理[编辑]

正弦定理說明对于任意三角形,它的边是, 而相对这些边的角是, ,有:

也表示为:

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数是通过, 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

參見[编辑]



This article uses material from the Wikipedia article "正弦", which is released under the Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0. There is a list of all authors in Wikipedia

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